miércoles, 2 de agosto de 2017

6A. Eratóstenes calcula el tamaño de su planeta

1)  En los años 2.001 y 2.002 emitieron varias veces en la TV nacional la serie "Cosmos" del astrónomo Carl Sagan.  Esta fue la explicación, en mis propias palabras, tal como recordaba lo escuchado, que Sagan da del cálculo asombroso del tamaño de la Tierra hecho hace ya 23 siglos, en el siglo III a.C.


La explicación de Carl Sagan en "Cosmos" (1er. capítulo)

Eratóstenes, consultando un  libro en la Biblioteca de Alejandría, leyó que en Siena, en el día más largo del año, el 21 de junio, una vara puesta verticalmente en el suelo no lanzaba sombra al mediodía, y el Sol se reflejaba justamente en el centro del fondo de un pozo, o sea que a esa hora estaba en el cenit.  Le llamó la atención que en cambio en Alejandría, donde vivía, en ese mismo momento una vara sí tenía sombra.  Eso podía explicarse únicamente si la Tierra fuera curva, porque siendo plana, la situación sería la misma en todas partes en un  mismo momento: todas las varas tendrían sombra o no la tendrían, porque la inclinación de los rayos solares con respecto a la superficie de la Tierra sería la misma en todas partes.

Supuso que era una esfera, y para calcular su tamaño primero hizo que alguien caminara hasta Siena midiendo la distancia, que resultó ser de 800 quilómetros.  Suponiendo entonces que las varas estuvieran a ambos extremos de un arco de esa longitud que fuera parte de una circunferencia, si se las prolongara hasta el centro de esta, o sea de la Tierra, las prolongaciones se unirían formando un ángulo de 7°, que es como la quincuagésima parte (1/50) de una circunferencia, así que multiplicando 800 por 50 se obtiene 40.000, que es una muy buena aproximación.  Hay una pequeña diferencia con respecto a la circunferencia real.  [Es más complicado: aquí falta explicar lo de los 7 grados, que queda claro en lo que sigue.  Además hay una confusión con el nombre de una de las ciudades, tanto en los textos en castellano o traducidos a ese idioma como aquellos en inglés.  En los publicados en castellano  parece que siempre aparece el nombre como "Siena", que es una ciudad italiana, y debe ser "Siene", Syene en inglés, actualmente Asuán.  En algunos libros en inglés aparece como Cyrene, "Cirene" en castellano, que era una ciudad y colonia griega al occidente de Egipto.]

Domingo Santo
15/4/01

N.B.  Un contemporáneo se burlaba de él llamándolo "Beta" porque decía que era el segundo mejor en todo.  Sagan comenta, luego de decir eso, que "pero era el primero en algunas cosas".


Mientras explicaba mostraba una tabla flexible sobre la que había dos varitas, tabla que doblaba para formar una superficie curva, y esto ante una fuente de luz que representaba al Sol, para mostrar como las varitas proyectaban una sombra o no lo hacían, según el caso.



2)  Un poco más de un año después topé en una biblioteca pública con el libro basado en dicha serie.  Esta es la leyenda del diagrama en el libro:

El ángulo A puede medirse según la longitud de la sombra en Alejandría [lo que se está diciendo es que se tiene suficientes elementos del triángulo para averiguar los demás, pero más claramente, y tal como puede verse en el diagrama, el ángulo A es el que está entre la vara, que es la vertical, o la dirección del cenit (el punto directamente sobre el observador) y la dirección del Sol al mediodía ("la distancia del Sol al cenit", tal como se lo expresa en la tercera explicación, la de Couderc), ángulo que es igual a cero grados en Siena a esa misma hora, donde ambas direcciones coinciden], pero de acuerdo con la geometría elemental ("si dos rectas paralelas son cortadas por una tercera recta, los ángulos interiores alternos son iguales") el ángulo B es igual al ángulo A.  De éste modo Eratóstenes, al medir la longitud de la sombra en Alejandría, llegó a la conclusión de que Siena estaba a A = B = 7° de distancia sobre la circunferencia de la Tierra.





… y en el texto dice:

La diferencia observada en las longitudes de las sombras hacía necesario que la distancia entre Alejandría y Siena fuera de unos 7° a lo largo de la superficie de la Tierra, es decir que si imaginamos los palos prolongados hasta llegar al centro de la Tierra formarán ahí un ángulo de  7°.  7° es aproximadamente una cincuentava parte de los 360° que tiene la circunferencia entera de la Tierra.  Eratóstenes sabía que la distancia entre Alejandría y Siena era de unos 800 quilómetros [en nuestros términos] porque contrató a un hombre para que la midiera a pasos.  800 quilómetros por 50 dan 40 mil quilómetros.  Esta debía ser pues la circunferencia de la Tierra.

(…) fue la primera persona que midió con precisión el tamaño de un planeta.

El asunto de los ocho ángulos formados por una recta que corta a otras dos en un plano, para quienes ya olvidaron lo aprendido en el colegio, es así:


                                            


A los ángulos 1, 2, 7 y 8 se los llama "externos" por estar ubicados fuera del espacio entre las dos rectas AB y CD intersectadas por la recta MN, y ese grupo de cuatro ángulos tiene dos pares de ángulos "alternos externos", que son el 1 y el 8, y el 2 y el 7, porque además de ser externos están situados en lados distintos de la recta MN que intersecta a las otras dos.  Los ángulos 3, 4, 5 y 6  son "internos" por estar situados entre las dos rectas intersectadas, y de manera análoga al caso de los externos, en éste otro grupo de cuatro ángulos también hay dos pares de ángulos alternos, que son los "alternos internos": el 3 y el 6, y el 4 y el 5.  SI LAS DOS RECTAS INTERSECTADAS SON PARALELAS, LOS ALTERNOS INTERNOS SON IGUALES (siendo esto parte de un teorema de Euclides).  (También hay aquí ángulos "correspondientes" y ángulos "suplementarios", conceptos que no intervienen en el asunto en cuestión.)  El diagrama fue hecho con el programa Paint de Microsoft, que es bastante sencillo comparado con programas como el Corel que tuve en otra época.

En el diagrama del libro de la serie de TV de Sagan las rectas paralelas intersectadas son dos rayos de luz solar, uno de los cuales coincide con la vertical (la vara o el pozo) en Siena, y la recta intersectadora es la prolongación de la vara o el obelisco en Alejandría.  El Sol está tan lejos que se puede considerar que sus rayos llegan a la Tierra paralelos los unos a los otros, como se señala en la última de las explicaciones (la cuarta que se incluye aquí, la del libro de Roy).  Es una de las dos suposiciones acertadas de Eratóstenes (la otra: la esfericidad de la Tierra). 



3)  En la misma biblioteca encontré otra explicación en Las etapas de la astronomía, de Couderc.

En Siena el Sol de mediodía el día del solsticio de verano no da ninguna sombra pues está en el cenit.  El mismo día, midiendo a mediodía la sombra de un obelisco en Alejandría, Eratóstenes halla la distancia del Sol al cenit de Alejandría igual a un cincuentésimo del círculo.  Tal es la diferencia de las latitudes entre ambas ciudades.  Ahora, la distancia de una ciudad a otra, medida sobre el terreno, es de 5 mil estadios, y calculando la circunferencia terrestre se obtiene 250 mil estadios.







La leyenda del diagrama:

El Sol está en el cenit Z de Siena, S.  La sombra AC del obelisco AB en Alejandría, A, permite conocer el ángulo ABC igual a la diferencia ATS de las latitudes de ambas ciudades.



4)  … y ahí mismo encontré otra versión de la cuestión en Astronomy: Principles and Practices (Roy), que traduzco.

Eratóstenes de Alejandría, que vivió hacia 230 a.C., recurrió a observaciones solares y sus conocimientos de geometría y geografía para calcular la circunferencia de la Tierra y obtuvo un valor muy cercano a la cifra aceptada actualmente.

Sabía que en el solsticio de verano el Sol pasaba por el cenit en Siena, en el Alto Egipto, y se reflejaba en el fondo de un pozo.  En Alejandría, ubicada en la misma longitud de Siena, el obelisco, en el solsticio de verano, proyectaba una sombra al mediodía, que indicaba por su extensión que la altitud del Sol era de 82,5°.  También sabía la distancia entre Siena y Alejandría.  Luego supuso que el Sol estaba muy lejos y que la Tierra era esférica, con lo que se podía considerar que los rayos solares que llegaba a Siena y Alejandría eran paralelos y el ángulo que la dirección del Sol formaba con la vertical en Alejandría (7,5°) sería entonces el ángulo subtendido en el centro de la Tierra C por el arco entre Siena y Alejandría.  Resultaba sencillo calcular luego la longitud de la circunferencia terrestre preguntando que distancia subtendería un ángulo de 360° si la distancia de Alejandría a Siena subtendía un ángulo de 7,5° en el centro de la Tierra.

En el último enunciado de esta versión se ve que era un problema de proporcionalidad.  Nuestros conocimientos de los procedimientos algebraicos rutinarios todo lo facilitan y nos indican que basta con aplicar una "regla de tres".  Se tiene tres datos de un par de proporciones o relaciones equivalentes (cada una de las cuales tiene dos datos) --dos ángulos en grados, un arco de circunferencia en unidades de longitud (la distancia entre las dos ciudades)--, y eso nos permite averiguar un cuarto dato, el dato faltante en una de ellas, que es un segundo arco, la circunferencia de la Tierra: 7,5° son al arco de circunferencia que es la distancia entre ambas ciudades (800 km.) como 360° son a la circunferencia (x km.), que es la distancia total alrededor de la Tierra.  Nuestra unidad de longitud para distancias terrestres grandes es el quilómetro, y la distancia conocida (aquella entre las dos ciudades) es de unos 800 km.:

800/7,5 = x/360

Despejamos la incógnita, haciendo primero una "multiplicación cruzada" …

7,5x = (800)(360)

… y dividiendo luego por 1/7,5 a ambos lados de la ecuación …

x = (800)(360)/7,5

… y eso nos da 38.400 km., la circunferencia terrestre.

Leyendas de los dos diagramas (de izquierda a derecha): "Las observaciones de Eratóstenes" y "La interpretación de las medidas de Eratóstenes"


      
  



 


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