miércoles, 2 de agosto de 2017

6. Astronomía griega (2)

Eudoxio se inventó un sistema geométrico muy ingenioso.  Se trataba de una construcción geométrica, como todas las de las teorías planetarias griegas.  Los bucles que describen los planetas se explicaban mediante un par de esferas, una de las cuales giraba dentro de la otra, a la cual tenía fijado su eje y que a su vez giraba en sentido contrario alrededor de un eje oblicuo con respecto al de la esfera anterior.  El planeta estaba sobre la esfera interior.  Estas dos esferas estaban a su vez rodeadas de otras dos que también giraban en sentidos contrarios, una de las cuales daba una vuelta en el período sinódico (período de revolución) del planeta y la otra, la esfera exterior, una vuelta en 24 horas, dando cuenta del desplazamiento del planeta con respecto a las estrellas hacia el este y de su movimiento diurno hacia el oeste respectivamente.







[La foto de los dos tipos de "bucles" es de uno de mis papelitos y tiene un pasaje de un texto en inglés que dice: "Si a las trayectorias aparentes [de los planetas en movimento retrógrado] se las traza en un mapa estelar forman bucles, que pueden ser abiertos o cerrados.  (…)  Estos bucles eran difíciles de explicar, y no fue sino ya en la época de Copérnico (…) y Kepler (…) cuando se los entendió plenamente."  Mi nota bene  ("Ya sabía eso pero no pensé que los bucles cerrados pudieran llamarse 'bucles'.") es anterior al momento en el que entendí que era al contrario y no tal como los identifico en mi dibujo: los "cerrados" encierran un área, los otros son como una letra ese muy deforme, aplastada, achatada o apachurrada (esta palabra es un americanismo que a mí, siendo americano [oriundo del Nuevo Mundo], me suena cómico, y no sabe uno como le parezca a un euraca).]    

Éste es un sistema de esferas homocéntricas, es decir, todas tienen el mismo centro pero tienen ejes de rotación distintos y giran a velocidades distintas.  Éste sistema tiene el problema de que no da cuenta de la variación de brillo de los planetas porque están siempre a la misma distancia de la Tierra.  Era una teoría más bien cualitativa que no entraba en los detalles.






Eudoxio necesitó 27 esferas para reproducir con movimientos circulares compuestos los movimientos aparentes de los planetas.  Su sistema, que fue perfeccionado posteriormente, lo adoptó Aristóteles, quien creía que esas esferas existían realmente y estaban hechas de un material cristalino, mientras que para Eudoxio se trataba de una construcción puramente geométrica.  Aristóteles planteó la teoría del Primer Motor [Primum Mobile en latín], que movía todas las esferas, y complicó tanto el sistema que necesitó 55 esferas para explicar los movimientos de los astros.

Se debe a Apolonio dos mecanismos o dispositivos geométricos llamados la "excéntrica" y el "epiciclo", de importancia capital en los modelos de Tolomeo y Copérnico.  Se imaginó una Tierra excéntrica, lo que permite dar cuenta de las variaciones de brillo de los planetas en virtud de las variaciones de distancia, ya que la Tierra no está en el centro de los movimientos.  Además se inventó otra herramienta: el mecanismo del epiciclo, que más tarde tomó Tolomeo.  El planeta se mueve en un pequeño círculo, el epiciclo, mientras que el centro (c) del epiciclo se mueve sobre otro círculo, el "diferencial", hacia el este alrededor de la Tierra.







Combinando las magnitudes de esos dos movimientos se puede reproducir las irregularidades en los movimientos de los planetas.  Cuando el planeta está en el punto "x" se suma las velocidades porque su dirección es la misma, y el planeta avanza hacia el este.  Cuando está en el punto "y" se las resta porque tienen direcciones opuestas y el movimiento del planeta será retrógrado (hacia el oeste).  Entre "x" y "y" habrá dos puntos en los cuales el planeta parece estar en reposo antes de cambiar su dirección.

El mecanismo en el diagrama B reproduce la situación representada en el diagrama A y logra una reproducción bastante aproximada de la realidad. 









El seno de 46 grados es igual a 0,72 (sen 46° = 0,72).  Si tomamos el radio del diferencial como igual a 1 entonces: sen 46° = 0,72/1.  Esto quiere decir que el radio del epiciclo es 0,72 veces el radio del diferencial.



Hiparco es el primer astrónomo griego del que se puede decir que fue un observador competente, además de un matemático cuidadoso.  Hizo tablas que predecían eclipses por varios siglos y fue el inventor del sistema de magnitudes que se utiliza para clasificar el brillo aparente de las estrellas.  Estableció seis categorías en cuanto al brillo estelar se refiere y las llamó "magnitudes", término que todavía se usa.  A las más brillantes se les asignó la magnitud 1 y a las más débiles la 6. 

Comparando sus datos con los de otros anteriores a él descubrió que se había desplazado en la esfera celeste el punto alrededor del cual parece girar.  Éste fenómeno de la "precesión" se debe a que el eje de rotación de la Tierra se mueve lentamente en el espacio, haciendo que el polo celeste (la proyección del eje de rotación terrestre sobre la esfera celeste) describa un círculo alrededor del polo de la eclíptica en 26 mil años.  [La eclíptica es el recorrido aparente del Sol en el curso de un año sobre el fondo de estrellas, una manifestación del movimiento de traslación de la Tierra, y por eso corresponde al plano de su órbita.]

Perfeccionó el método de Aristarco para calcular los tamaños relativos de la Tierra, la Luna y el Sol y las distancias relativas entre dichos cuerpos.  Determinó que la distancia Tierra-Luna era de 29½ diámetros terrestres (en realidad son 30).  Analizó su método y afirmó que no podía equivocarse sino cinco diámetros.  Es el primer caso de un cálculo de error.

Utilizó el modelo de Apolonio para encontrar explicaciones razonablemente satisfactorias de los movimientos del Sol y la Luna.  Tenía conocimientos de la duración desigual de las estaciones y utilizó el mecanismo de la excéntrica para explicar esto.  Tenía los siguientes datos:

-- duración de la primavera: 94½ días
-- duración del verano: 92½ días
-- duración del resto del año: 178¼ días







Se conocía la duración del año con una precisión no tan grande, pero bastante buena: 365¼ días (lo que se llama el "año trópico").  Hoy se sabe que es igual a 365,24219… días.  Sabía a que correspondían las cuerdas AC y BD y encontró los arcos AB (un día) y CD (2 1/16 días) [dos días y un dieciseisavo].  Era el comienzo de la trigonometría.  [Fue el inventor de esa parte o rama de las matemáticas, que calcula los elementos de los triángulos, sea planos o esféricos.  Deriva de las palabras griegas trigónom, triángulo, y metron, medida.  Sigo sin entender ese diagrama, que no he podido encontrar en ninguna parte tal como nos lo presentaron.  O fue insuficiente la explicación o no logré entenderla.]

También utilizó la trigonometría para obtener la relación entre el radio de un epiciclo y el radio del diferencial. 

Todo esto aparece en el Almagesto de Claudio Tolomeo, el astrónomo más importante de toda la astronomía helenística, ya que de las obras originales de Hiparco sólo se conoce fragmentos.

¿En qué está basado el sistema que construye Tolomeo?  ¿Cuáles son las hipótesis físicas que lo sostienen, las bases físicas en las que se sustentaba?  La construcción geométrica de Tolomeo parte de la física aristotélica, según la cual los astros son esféricos puesto que la esfera es la forma más perfecta (porque es la que posee mayor volumen), y además corresponde a la esfera, como forma perfecta, el movimiento perfecto, que es el movimiento circular uniforme.  El movimiento circular uniforme alrededor del centro del Universo, que también es el centro de la Tierra, es el movimiento natural en el mundo supralunar, mientras que en el mundo sublunar lo es el movimiento rectilíneo hacia o desde ese mismo centro.  El sistema de Tolomeo está basado también en el de los pitagóricos (esferas concéntricas cuyo roce producía la "música de las esferas") y en el de Eudoxio (también un sistema de esferas, pero sin música).

[Topé con una burla parecida dirigida contra la música de las esferas en un librito de divulgación de conocimientos astronómicos titulado Our Emerging Universe (Allan Broms, Dell Publishing Co., Inc., Nueva York, 1.961, p. 43): "Se entiende bastante bien por que las galaxias en colisión generan ondas de radio tan potentes ya que basta meramente con una nube de gas agitada con la suficiente violencia, como la habría ciertamente en una colisión de esas.  Está claro que la emisión radial hacia el Universo circundante como resultado de eso difícilmente podría describirse como la "armonía de las esferas" porque es más bien interferencia de radio, pero aunque su calidad no es elevada, por lo menos su potencia sí lo es, como resulta digno de las proporciones de su posible audiencia, puesto que tiene una potencia veinte sextillones de veces mayor que las emisiones de nuestras emisoras radiales más potentes." (Why colliding galaxies should generate such powerful radio waves is fairly well understood since it merely requires a cloud of gas stirred up violently enough, as would certainly happen in such a collision.  Of course, the resulting broadcast to the Universe can scarcely be called "the harmony of the spheres", being actually radio static, but if its quality is not high at least its power is, for, as befits the proportion of its potential audience, it has a power twenty billion billion billion times as strong as our most powerful broadcasting stations.)]

Tolomeo utilizó todos los mecanismos (o herramientas) anteriores pero inventó otro nuevo, violando la sumisión al movimiento circular uniforme.  El epiciclo y la excéntrica (anteriormente Hiparco había demostrado la equivalencia de estos dos mecanismos) conformaban una representación insuficiente: esa construcción geométrica no bastaba para dar cuenta de los movimientos de los planetas.  Entonces se inventó lo siguiente: conservó el epiciclo pero puso el centro del mismo a girar alrededor del centro A, girando uniformemente con respecto a E, el "ecuante", un punto simétrico con respecto a la Tierra.







En el sistema de Tolomeo el Sol se mueve a una velocidad variable con respecto a laTierra, tal que un observador situado en el ecuante lo vería moverse a velocidad uniforme.  Aquí estamos ya cerca de la elipse: en S1 el Sol iría más rápidamente, en virtud de la Segunda Ley de Kepler, pero estaría más lejos del foco F que cuando estuviera en S2, donde iría más lentamente pero estaría más cerca de F.  Los efectos se compensarían y a un observador que estuviera en F le parecería que el Sol se mueve con velocidad uniforme mientras que desde la Tierra, en el otro foco, no ocurriría lo mismo.

No se trata de un sistema unificado.  Cada planeta tiene un sistema distinto, tiene su propio mecanismo, su propia solución aislada que da cuenta de los movimientos que se observa [o sea, son soluciones ad hoc, o "(solamente) para eso" en latín, soluciones improvisadas, específicas, exclusivamente para un caso concreto], pero aunque no hay un principio unificador.  Para todos los planetas se utiliza técnicas comunes, es decir, una combinación de los tres mecanismos: el epiciclo, la excéntrica y el ecuante.

El sistema de Tolomeo fue perfeccionado en algunos detalles menores por los árabes pero básicamente siguió siendo el mismo.  A mediados del siglo XIII se elaboró las Tablas Alfonsinas [por orden de Alfonso X el Sabio, rey de Castilla y León, que escribió tratados de astronomía y astrología], unas tablas de las posiciones de los planetas redactadas siguiendo los métodos de Tolomeo, pero su sistema no podía prever las posiciones de los planetas con suficiente precisión.  En muchas ocasiones las posiciones predichas no coincidían con las reales, y a medida que pasaba el tiempo la discrepancia iba siendo cada vez mayor.  El sistema de Tolomeo perdió vigencia cuando por el paso del tiempo comenzó a ser incapaz de predecir las posiciones de los planetas.

Los antiguos llamaban al movimiento retrógrado de los planetas la "primera desigualdad".  También había que dar cuenta de la "segunda desigualdad", los cambios de brillo de los planetas.  Esto es dificilísimo de explicar con la hipótesis geocéntrica.

El método que utilizó Tolomeo para obtener la distancia relativa a la Luna es básicamente el que se usaba hasta la era de la exploración espacial (ahora se usa un rayo láser).  Es un método indirecto llamado (…).  [Se me escapó el nombre del método, por estar copiando algo escuchado segundos antes.]








Para el observador que está situado en A la Luna está en el cenit.  El observador en B puede medir el ángulo α (la distancia a la que está la Luna de su cenit), y habiéndolo medido puede calcular el ángulo β restando el ángulo α de 180° (es decir, si conocemos el ángulo α conocemos el ángulo β).  Si se mide la distancia AB se tiene el ángulo al centro,ɣ.  El ángulo ɣ [el ángulo al centro (letra gama)] es la diferencia entre las dos latitudes.  [La longitud de los dos observadores es la misma.]  Teniendo esos dos ángulos -- β y ɣ--, y tomando el radio de la Tierra como 1, se puede resolver el triángulo utilizando la fórmulas de la trigonometría.  Se obtiene así la distancia en términos del diámetro terrestre.  Tolomeo encontró lo mismo que Hiparco: 29½ diámetros terrestres. 

En la práctica no es necesario el punto B.  Se puede observar la Luna en determinado momento y tres horas después. 

A la escuela de Alejandría están asociados tres nombres de la primera magnitud: Aristarco de Samos, Eratóstenes e Hiparco (el más grande de todos).  [El profesor aprovecha ahí la metáfora de la escala estelar de las magnitudes.]  Aparece aquí la invención de métodos, técnicas, para hacer mediciones. 
Los astrónomos no estaban en capacidad de determinar distancias absolutas.  Sólo luego de la invención del radar se pudo hacer una medida directa de distancias en el Sistema Solar.  [Creo que es el primer método en la jerarquía de los de medición de distancias en el Universo.  Se va necesitando un método adicional a medida que va aumentando la distancia porque eventualmente se hacen insuficientes, cuando se llega a cierta distancia que marca su límite de eficacia.]  Aristarco se propuso medir las distancias relativas entre la Tierra, la Luna y el Sol, suponiendo dos hipótesis: 1) la órbita de la Luna con respecto a la Tierra es circular, y su velocidad, uniforme, y 2) el Sol no está muy lejos (esto es importantísimo).  [¿No sería entonces tres hipótesis?] Las dos son falsas: la órbita de la Luna es una elipse, su velocidad es variable, y la distancia al Sol es enorme, lo que hace que los rayos de luz al llegar sean paralelos.  Se inventó una técnica para medir los tamaños relativos del Sol y la Luna con respecto a la Tierra.  La unidad es el diámetro terrestre (desconocido). 






Distancia a la Luna
Diámetro de la Luna
Distancia al Sol
Diámetro del Sol

                  ARISTARCO



                           10
                            ⅓
                          200
                             7

                         HOY



                           30
                         0,272
                        11.700
                           109

     
Eratóstenes calculó la circunferencia de la Tierra partiendo del hecho de que el primer día de verano, a mediodía, el Sol iluminaba el fondo de un pozo en Siena, es decir, estaba justamente en el cenit.  El mismo día, a la misma hora, el Sol estaba un poco al sur en Alejandría, al norte de Siena: estaba a 7° del cenit.  Conocía la distancia --5 mil estadios--, entre las dos ciudades.  Entonces razonó así: esos 7° equivalen más o menos a un cincuentavo de la circunferencia (C) de la Tierra.

1/50C = 5.000

C = (5.000)(50)

    = 250.000 estadios 

... y C/π = diámetro

Esa explicación que se nos dio para lo del cálculo que hizo Eratóstenes es sencilla y clara pero un poco somera, insuficiente para quien no esté familiarizado con los asuntos astronómicos básicos.  Por eso es conviene complementarla con otras, incluyendo la de la serie de televisión "Cosmos" del astrónomo Carl Sagan, que serán incluidas en un anexo.  En la de Sagan se da la distancia entre las dos ciudades en la unidad común actual para distancias grandes en tierra --800 km.--, cifra que al sustituir la de 5.000 estadios queda igualmente multiplicada por 50 y esto da 40.000 km., que resulta ser justamente la circunferencia terrestre. 

La definición inicial de "metro" era "la diezmillonésima parte del cuadrante terrestre", o sea, de 10.000 km., la cuarta parte de la circunferencia terrestre (en geometría plana definen el término "cuadrante" como "el arco igual a la cuarta parte de la circunferencia"), que es la distancia entre el ecuador y un polo a lo largo de un meridiano de longitud cualquiera.  El metro patrón era una barra de platino e iridio conservada como si fuera una reliquia en Francia.  En 1.960 fue sustituido por un múltiplo de la longitud de onda de determinada radiación que emite el átomo de criptón, pero luego, en 1.983, hubo una segunda sustitución cuando, habiéndose determinado la velocidad de la luz en el vacío como de 299'792.458 metros por segundo, el metro quedó definido como la distancia que recorre la luz en el vacío en 1/299'792.458 segundos.  ¿¿Cuándo les parecerá que ya basta con el grado de precisión logrado??]





                                                          El cuadrante terrestre

El problema es que no se sabe que unidad utilizó porque había varios tipos de estadio.  Si utilizó el estadio olímpico se equivocó en 20 %, pero si utilizó otro el error no sería sino de 1 %.  Valores reales:

-- diámetro: 12.742 km.
-- radio: 6.370 km.

[En realidad hay tres radios: ecuatorial (el mayor de ellos, por tener la Tierra un achatamiento leve), polar y medio (o "promedio").  El diámetro que se nos dio es el diámetro medio porque es el doble del radio medio (6.371), y el radio dado es el radio medio redondeado.]

Aristóteles dio una explicación perfecta de las fases de la Luna.  Las explicó de una manera correcta a partir de las siguientes hipótesis: 1) iluminación por el Sol, 2) esfericidad de la Tierra, y 3) distancia del Sol mayor que la distancia a la Luna.

Consideró estas dos hipótesis, que significan lo mismo porque producen los mismos resultados, y rechazó la primera: la rotación de la Tierra y la rotación de la esfera celeste.  También descartó la primera de las dos hipótesis siguientes (que también significan lo mismo) por la ausencia de paralaje estelar (paralaje de las estrellas fijas): revolución de la Tierra con respecto al Sol, y revolución del Sol con respecto a la Tierra.

El efecto de "paralaje" consiste en desplazamientos en la posición de los objetos, con respecto al fondo, debidos al movimiento del espectador.  [El menor movimiento del espectador es el que se presenta cuando se mira algo --puede ser un dedo puesto en posición vertical frente al rostro, a unos 20 cm. de distancia, o un lápiz--, con un solo ojo, cerrando el otro, y luego con el ojo que estaba cerrado, cerrando ahora el primer ojo que se usó.  Aunque la distancia entre los ojos es pequeña, basta con ese cambio de posición de observación para que el objeto parezca dar un salto lateral, por su cambio aparente de lugar con respecto a lo que haya más allá.  Si se usa un dedo podría uno llamar "paralaje digital" a ese caso específico.]  Existe entre los astros pero no es observable a simple vista.  Los griegos concluyeron que la esfera celeste era inmensamente grande, ya que las estrellas no cambian de posición al desplazarse el observador.  Cuando la Tierra cambia de posición, una misma estrella parece cambiar de posición con respecto a las demás pero el ángulo entre las dos direcciones es mínimo.  Por eso uno de los alegatos que daban los antiguos griegos para negar el movimiento de la Tierra era la ausencia de paralaje en las estrellas.           






  
             

    

    



          


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